Question

高一数学：定义在R上的函数f(x),对任意x,y属于R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y);且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2

（1）判断f(x)的奇偶性并证明
（2）判断f(x)的单调性并证明

Answer 1

解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)；∴f(0)=2f(0),f(0)=0;
又f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数。
设x2>x1>0,则x2-x1>0,又∵f(x+y)=f(x)+f(y)；∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)；又∵x>0时，f(x)<0；∴x2-x1>0,f(x2-x1)<0，即：f(x2)-f(x1)<0,f(x2)<f(1)；∴f(x)在（0，+∞）上是减函数；
设0>x2>x1,则x2-x1>0；同理有：f(x2)<f(x1)
∴f(x)是减函数。

Answer 2

1. f(x+0)=f(x)+f(0) 即f(x)=f(x)+f(0) 得f(0)=0
又f( x+(-x) )=f(x)+f(-x) 即f(0)=f(x)+f(-x) =0 f(x)= - f(-x) 所以f(x)是奇函数

2. f(x+x)=f(x)+f(x) 即f(2x)=2f(x)
又x>0时,f(x)<0 则f(2x)=2f(x) < f(x) < 0
所以x>0时,f(x)是单调递减的 （ 因为2x>x,而f(2x) < f(x) ）
又因为f(x)是奇函数 所以f(x)在R上单调递减