Question

在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交AB的延长线于E ，交AD的延长线于F，

求证：BE=二分之一BD

Answer 1

证明：在AB的延长线上取点H，使AH＝AC，连接DH，CH，延长BM交AC于G
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AH＝AC
∴∠H＝（180-∠BAC）/2
∵AD＝AD
∴△AHD≌△ACD （SAS）
∴∠H＝∠C
∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠H+∠BDH
∴2∠H＝∠H+∠BDH
∴∠H＝∠BDH
∴BD＝BH
∵ME⊥AD
∴∠AFE＝∠AFG＝90
∵AD＝AD
∴△AFE≌△AFG （ASA）
∴AE＝AG
∴∠AEG＝（180-∠BAC）/2
∴∠H＝∠AEG
∴EG∥HC
∵M是BC的中点
∴EM是△BHC的中位线
∴BE＝BH/2
∴BE＝BD/2