Question

高数不定积分典型题

∫dx/2x^2+3x+4不用配方用因式分解怎么做？
谢谢了！

Answer 1

y = 2x² + 3x + 4
Δ = 3² - 4(2)(4) = - 23 < 0，与x轴没有交点啊！
难道要用虚数表示答案？
∫ dx/(2x² + 3x + 4)
= (1/2)∫ dx/(x² + 3x/2 + 2)
= (1/2)∫ dx/{ [x - (- 3 - i√23)/4][x - (- 3 + i√23)/4] }
= (1/2)∫ dx/[(x + 3/4 + i√23/4)(x + 3/4 - i√23/4)]
= (1/2)[1/(2 * i√23/4)]∫ 1/[(x + 3/4 + i√23/4)(x + 3/4 - i√23/4)] * [(x + 3/4 + i√23/4) - (x + 3/4 - i√23/4)] dx
= (1/2)[2/(i√23)]∫ [1/(x + 3/4 - i√23/4) - 1/(x + 3/4 + i√23/4)] dx
= [1/(i√23)]ln| (x + 3/4 - i√23/4)/(x + 3/4 + i√23/4) | + C

不过这题的确不适合用因式分解法做的，过程复杂太容易错误了，只有二次项能在实数下因式分解才好用。这题用配方法的话三步便完成了。
∫ dx/(2x² + 3x + 4) = ∫ dx/[2(x + 3/4)² + 23/8]
= 1/√(2 * 23/8) * arctan[√2(x + 3/4)/√(23/8)] + C
= (2/√23)arctan[(4x + 3)/√23] + C