Question

关于傅里叶的一道证明题，求大神帮忙。

证明如果一个傅里叶级数一致收敛，那么它一定一致收敛到产生这个傅里叶级数的函数。很急；如回答令我满意，再追加100的悬赏。谢谢！

Answer 1

不是的，至少不完全是的。

比如：有个傅立叶级数一致收敛的充分条件，叫“狄利克莱定理”，是这么说的：
设f(x)是以2π为周期的函数，如果它在[-π,π]上满足条件：
(1) 除了有限个左右极限存在的第一类间断点外，都是连续的；
(2) 只有有限个极值点，

则f(x)所对应的傅立叶级数一致收敛，且在每一点x收敛到：[f(x-0)+f(x+0)]/2
其中：f(x-0)和f(x+0)分别代表f(x)在点x处的左右极限。

所以，可以看到：如果f(x)在点x处有个第一类间断点，那么它的傅立叶级数在点x处不收敛到f(x)，而是收敛到点x处左右极限的中点。

不过，倒是可以这么说：凡是满足狄利克莱条件的f(x)，如果f(x)连续，那么它的傅立叶级数一致收敛到f(x)本身。BTW：狄利克莱定理的证明比较难，细节我不清楚。