Question

在正方形ABCD中,P是对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F，求证AP⊥EF。

Answer 1

解：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，
AD=CD∠PDA=∠PDCPD=PD
，

∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP．
证明EF=AP吧 不知题目有没有错

追问

可是真的是要证垂直= =

追答

证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF，故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF我想起来了不懂可以追问

追问

∠APG=∠FPH是哪里来的。。

追答

作辅助线 PG⊥AB PH⊥EF 楼主细心看 我步骤都写了

Answer 2

解：已知：PE⊥BC，PF⊥CD
所以：ce=二分之一的bc cf=二分之一的cd
又因为ABCD是正方形
所以：bc=cd
所以：ce=cf
因为：bd为正方形ABCD的对角线 bc=cd=ad=ab 角bcd=90度
所以三角形bcd为等腰直角三角形
所以三角形abd bcd位权等三角形
连接fe平行于bd 连接ac
因为ABCD为正方形 bd位abcd的对角线
所以ac位正方形ABCD的对角线
连接ap垂直于bd于p点
因为正方形zbcd Ac⊥bd p为对角线bd的中点，AP⊥bd
又因为bc=cd ce=cf 角bcd为直角，所以fe平行于bd
又因为ap⊥bd bd平行于ef
所以ap⊥fe