Question

已知函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x，y 恒有f(x+y)=f(x)+f(y)-1

已知函数f(x)的定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对于任意实数x，y 恒有f(x+y)=f(x)+f(y)-1
(1)试探究函数f(x)的单调性
(2)若f(2)=3,试解不等式f(x^2)+f(1-4x)＜6

Answer 1

解①由f(x+y)=f(x)+f(y)-1得f(x+y)-f(x)=f(y)-1
任取x1，x2，且x1＜x2
f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x2-x1)-1，因为x2-x1＞0，所以f(x2-x1)＞1
故f(x2)-f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)
所以f(x)在R上递增
②由f(x^2)+f(1-4x)＜6

得f(x^2)+f(1-4x)-1＜5

得f(x^2)+f(1-4x)-1＜f（2）+f（2）-1
f（x^2+1-4x)＜f（4）
又由f(x)在R上递增
得x^2+1-4x＜4
即x^2-4x-3＜0.......................①
方程x^2-4x-3=0的根为x=2±√7
故①的解为2-√7＜x＜2+√7
故f(x^2)+f(1-4x)＜6的解集为

｛x/2-√7＜x＜2+√7｝