Question

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围
第三问为什么是f(x)的最大值<g(x)的最大值。 而不是f(x)最大值<g(x)最小值

Answer 1

解：（1）由已知f′(x)=2+1/x (x＞0)，
∴f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3．
（2）求导函数可得f′(x)=a+1/x=ax+1/x (x＞0)．
当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-1/a ．
在区间(0，-1/a)上，f'（x）＞0；在区间(-1/a，+∞)上，f'（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，-1/a)，单调递减区间为(-1/a，+∞)
（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．
∵g（x）=x^2-2x+2=（x-1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2
由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f（x）在(0，-1/a)上单调递增，在(-1/a，+∞)上单调递减，
故f（x）的极大值即为最大值，f(-1/a)=-1+ln(1/-a)=-1-ln(-a)，
所以2＞-1-ln（-a），所以ln（-a）＞-3，
解得a＜-1/e³．

好难输字啊，符号太多了，望采纳，若不懂，请追问。

追问

为什么是f(x)的最大值<g(x)的最大值。 而不是f(x)最大值<g(x)最小值

追答

因为是均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），如果把这个存在改成任意，那么就变成你说的那样了，明白了么？

Answer 2

不是恒成立问题，而是不等式有解问题，注意：存在x2∈[0，1]，