Question

已知函数f(x)=2x²-ax+1/x²，若对任意x∈[1，+无穷），

f(x)＞0恒成立，求a的实数范围。
要求用函数做。
也就是换元变成：t²-at+2, t∈（0,1]恒大0
然后怎么做。答案是a＜3
我觉得只要△＜0就可以了么噶。

Answer 1

已知函数f(x)=(2x²-ax+1)/x²>0对任意x∈[1，+∞)恒成立，求实数a的取值范围。
解：因为对任何x∈[1，+∞)恒有x²>0，故要使f(x)>0在x∈[1，+∞)恒成立，只需
分子2x²-ax+1>0在x∈[1，+∞)恒成立就可以了。
y=2x²-ax+1=2(x²-ax/2)+1=2[(x-a/4)²-a²/16]+1=2(x-a/4)²-(a²-8)/8
是一条开口朝上的抛物线，对称轴x=a/4，按题意，参数a必需满足两个条件：
①a/4<1，即a<4；②y(1)=2-a+1=3-a>0，即a<3；
①∩②={a∣-∞<a<3}，这就是a的取值范围。
【此题不能用判别式来作。因为在判别式Δ=a²-8<0，即-2√2<a<2√2的条件下，
f(x)>0对x∊R都成立，那当然能保证f(x)>0在x∈[1，+∞)恒成立；但你这么作，就
把a的取值范围大大地缩小了，也就是说，Δ=a²-8<0是本题的充分但不必要的条件，
这与题意是不符的。】

追问

那你可以用这个式子：：t²-at+2, t∈（0,1] 来做么。谢谢...

而且用你哪种方法。应该对称轴＞1吧。。。怎么会是＜1呢，＜1的时候，可能有y＜0的部分的...

追答

①没必要换元；
②只有对称轴在规定区间[1，+∞)的左边，也就是a/40，即a<3就不存在你说的在区
间[1，+∞)内有y<0的情况了。