Question

函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f（x-1)都是奇函数则

A.f(x)是偶函数 B.f（x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

每个答案请都分析一下

Answer 1

答案D
分析：首先由奇函数性质求f（x）的周期以及对称中心，然后利用所求结论来分别判断四个选项即可
解答：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，所以f（x）不是奇函数也不是偶函数，故选项A、B错；
又因为函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数，故选项C错；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），即f（-x+3）=-f（x+3），
∴f（x+3）是奇函数，故选项D正确．
故选D．
点评：本题主要考查抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质的定义．
请采纳答案，支持我一下。

追问

请问
函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，所以f（x）不是奇函数也不是偶函数，为什么？
像正弦函数，的对称中心就有很多呀。 他是偶函数。

又因为函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数
这又是什么理论弄来的？
周期是等于4但是你的方法看起来好简单，想学学，可惜目前不理解

总之谢谢你回答，也希望你能解决我的疑惑

Answer 2

f(x+1)是f(x)向左平移一个单位得到
f(x)对称轴x=1
f(x-1)是f(x)向右平移一个单位得到
f(x)对称轴x=-1
两对称轴的距离为一周期
所以T=2
f(x)=f(x+2)
选C