Question

二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，A，B，C三点为抛物线与坐标轴得交点

Answer 1

（1）∵二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2）
∴a＋b＋c＝0
4a＋2b＋c＝0
c＝－2
解得a＝－1，b＝3，c＝－2
∴二次函数的解析式y＝－x
²＋3x－2
（2）当△EDB∽△AOC时，有AO/ED＝CO/BD或AO/BD＝CO/ED
∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2
当AO/ED＝CO/BD时，得1/ED＝2/(m－2)，∴ED＝(m－2)/2
∵点E在第四象限，∴E1（m，(m－2)/2）
当AO/BD＝CO/ED时，得1/(m－2)＝2/ED，∴ED＝2m－4
∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则
EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1
当点E1的坐标为（m，(m－2)/2）时，点F1的坐标为（m－1，(2－m)/2）
∵点F1在抛物线的图象上，∴(2－m)/2＝－(m－1)²＋3(m－1)－2
∴2m
²－11m＋14＝0，解得m1＝7/2，m2＝2（不合题意，舍去）
∴F1（7/2，－3/4）
∴S□ABEF
＝1×3/4＝3/4
当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）
∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1)
²＋3(m－1)－2
∴m
²－7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）
∴F2（4，－6）
∴S□ABEF
＝1×6＝6

Answer 2

解：
y=ax^2+bx+c
1、当x=0时，解得：y=c，
即函数与y轴的交点是(0，c)，不妨设其为A点；
2、当y=0时，有：ax^2+bx+c=0，解得：x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)
即函数与x轴的交点是([-b-√(b^2-4ac)]/(2a)，0)、([-b+√(b^2-4ac)]/(2a)，0)，不妨设前者为B，后者为C。
△ABC为直角三角形必须满足：AB⊥AC
假设直线AB的斜率为m，AC的斜率为n，则：mn=-1
m=(c-0)/{0-[-b-√(b^2-4ac)]/(2a)}=2ac/[b+√(b^2-4ac)]
n=(c-0)/{0-[-b+√(b^2-4ac)]/(2a)}=2ac/[b-√(b^2-4ac)]
mn=-1
{2ac/[b+√(b^2-4ac)]}{2ac/[b-√(b^2-4ac)]}=-1
{4(a^2)(c^2)/[b^2-(b^2-4ac)]=-1
{4(a^2)(c^2)/(4ac)=-1
ac=-1
即：△ABC为直角三角形时，必须满足的条件是：ac=-1