Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0）

如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3

，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数的解析式；（3）点Q为二次函数图象上点P至点B之间的一点，且点Q到△ABC边BC、AC的距离相等，连接PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．

Answer 1

解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴点A的坐标是（3-m，0）．
∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3，则点D的坐标是（0，m-3）．
又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，
所以可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）^2，将D，B坐标代入：
a(3-1)^2=m，a(0-1)^2=m-3，得：a=1，m=4。
∴抛物线的解析式为y=x^2-2x+1，B坐标(3,4)，A(-1,0)；
过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x^2-2x+1），
则PM=(x-1)，QM= x^2-2x+1，MC=(3-x)，
∴S（ABQP）=S（△ABC）-S（△PQM）-S（梯形BCMQ）
=1/2*4*4-1/2(x-1)( x^2-2x+1)-1/2(3-x)*( x^2-2x+1+4)
=-x^2+4x+1=-（x-2）^2+5，
所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5。