Question

已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a3=4.(I)求数列{an}的...

已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a3=4. (I)求数列{an}的通项公式; (II)设bn=52+log2an，求数列{bn}的前n项和Sn; (III)比较12n3+2(n∈N*)与(II)中Sn的大小，并说明理由.

Answer 1

解答:解:(I)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a3=4，设公比为q，则由4=1×q2，可得q=2.
故等比数列{an}的通项公式为
an=1×2n-2=2n-1.
(II)由于
bn=
5
2
+log2an=
5
2
+(n-1)=n+
3
2
，数列{bn}为等差数列，且公差为1，故此数列的前n项和Sn
=
n[
5
2
+(n+
3
2
)]
2
=
1
2
n(n+4).
(III)当n=1，或n=2时，经过检验，
1
2
n3+2(n∈N*)与
1
2
n(n+4)相等，当n=3时，经过检验，
1
2
n3+2＞
1
2
n(n+4).
故当n≥3时，
1
2
n3+2＞
1
2
n(n+4).
这是因为当n比较大时，函数
1
2
n3+2
的增长速度大于Sn
=
1
2
n(n+4)的增长速度.