Question

已知a,b,c>0,求证a^a*b^b*c^c>=(abc)^[(a+b+c)/3]

已知a,b,c>0,求证a^a*b^b*c^c>=(abc)^[(a+b+c)/3]

Answer 1

　　　a^a*b^b*c^c
>=
(abc)^[(a+b+c)/3]
（两边都“立方”，得）
<==>　a^(3a)*b^(3b)*c^(3c)
>=
(abc)^(a+b+c)（两边约约分，得）
<==>　a^(2a)*b^(2b)*c^(2c)
>=
a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)
<==>　a^(a-b)*a^(a-c)*b^(b-a)*b^(b-c)*c^(c-a)*c^(c-b)
>=
1
<==>　(a/b)^(a-b)
*
(b/c)^(b-c)
*
(c/a)^(c-a)
>=
1
若
a>=b>0，则
a/b
>=
1，且
a-b
>=
0
所以
(a/b)^(a-b)
>=
1
若
0<a<=b，则
0
<
a/b
<=
1，且
a-b
<=
0
所以
(a/b)^(a-b)
>=
1
即　总有
(a/b)^(a-b)
>=
1
同理　有
(b/c)^(b-c)
>=
1
　　　　
(c/a)^(c-a)
>=
1
三式相乘得　(a/b)^(a-b)
*
(b/c)^(b-c)
*
(c/a)^(c-a)
>=
1
所以原不等式成立