Question

已知f(x)是二次函数，且f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1

设函数h(x)=log2 [n-f(x)]，若此函数在定义域内与x轴无交点，求实数n的取值范围。

Answer 1

解
f(x)与x轴交于（-2,0)与（0,0）顶点纵坐标是-1,
则 可求得解析式为f(x)=x^2 +2x
h(x)=log2 (-x^2 -2x+n)
若要使h(x)在定义域内与x轴无交点，
则 （1）h(x)对定义域内任意x都有 -x^2-2x+n>1
即-x^2-2x+n-1>0对任意x∈R恒成立，这不可能。
所以，只有：
（2）h(x)对于定义域内任意x都有
-x^2 -2x+n>0且-x^2-2x+n<1恒成立
解得 -1<n<0

Answer 2

有题目可得，对称轴为x=-1
所以可设y=a（x+1）^2-1
再代入可得，f（x）=（x+1）^2-1
h（x）=log2（n-x^2-2x)

Answer 3

解：由于f(x)是二次函数，可以设f(x)=ax²+bx+c
因为 f（-2）=f（0）=0，所以 得到4a-2b+c=c=0 ,所以 2a=b 且 c=0
又 f(x) 最小值=-1 所以 a>0 且-b²/4a=-1 将 2a=b代入此式 得到b=2 所以a=1
则f(x)=x²+2x
所以 h(x)=log2 [n-x²-2x] ，根据已知条件，其在定义域内与x轴无交点 可知
n-x²-2x=1 无解 即：(x+1)²=n无解 ，则 n<0 . 另外 根据对数函数的定义可知：n-x²-2x>0
可得 n>-1
综上可知 -1<n<0

Answer 4

f(-2)=f(0)=0,说明对称轴是X=(-2+0)/2=-1

设f(x)=a(x+1)^2-1
f(0)=a*1-1=0, a=1
f(x)=x^2+2x
h(x)=log2[n-f(x)]在定义域内与X轴无交点,则有h(x)=0无解.
若无零点
则n-x^2-2x恒大于1或者恒大于0小于1
n-x^2-2x＝n+1-（1+x）^2
因为-（1+x）^2 恒小于 0
n+1-（1+x）^2 恒小于 n+1
所以0＜n+1<1
-1<n<0