Question

将0至9这九个数字填入九宫格内,使横竖斜三格中的数字加起来都等于18

Answer 1

0-9可是10个数哟.
根据三阶幻方的性质之一：【幻和值N=3×中心格数】.

（证明方法：幻方每一行、每一列和两条对角线的数字和都相等为N,那么,两条对角线和中间行的3组数之和=3N,变式为：1、3列之和+3×中心格数=3N,即,2N+3×中心格数=3N,得：N=3×中心格数.）
推理得：【以中心格对称的两个数的和=2×中心格数】.
本题幻和值N=18=3×中心格数,中心格数=18÷3=6
根据三阶幻方的性质之一：【2×角格数=非相邻的2个边格之和】.
（证明方法：第一行的和+第二行的和=第一列的和+主对角线的和,
消去相同项,得：2×左上角的角格数=非相邻的2个边格之和,其它类似.）
由此可以得出,组成三阶幻方的数中最大的数不能放在任一角格,只能在边格,否则,构成幻方的就只有3、6、9这3个数了.
中心格数是6,以中心格对称的两个数的和=2×6=12,那么这些数最大为9,最小为3.此题中最大的数9放在边格（上下左右均可）.如下图：

和9同一条线上的另两个数的和为9,【3、6】已有,就只有【4、5】了,同9一条线上的角格再填入4、5（左右随意）.
对角线对称的角格4对应填8,5对应填7.
【2×角格数=非相邻的2个边格之和】,与填4的角格不相邻的边格为5,与填5的角格不相邻的边格为7.这样,5和7重复了,也只有这样才能完成幻方.


什么样的数能构成3阶幻方呢?
【3个数一组的3组数（共9个数）,组与组等差,每组数与数等差,这样的数能构成3阶幻方.】
那么在0-9这10个数中要完成幻和值为18的三阶幻方（即6为中心数）,又尽可能地避免数字重复,就只能是【3、4、5】、【5、6、7】、【7、8、9】如下图所示：