Question

小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上

小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明

Answer 1

考点：正方形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．
专题：几何综合题．
分析：延长AE交BC的延长线于点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
解答：解：同意小明的观点．
证明：延长AE交BC的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠M，
又∵DE=EC，∠AED=∠MEC，
∴△AED≌△MEC，则AE=EM，
∠EAD=∠FAE=∠M，
∴AF=FM，
∴FE⊥AE．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，把证明垂直的问题转化为证明等腰三角形底边上的中线的问题．

Answer 2

经E向AF做垂线，交AF于G。
∵∠FAE=∠EAD，∴△AEG≌△AED，∠AEG=∠AED，EG=ED=EC
∵EG=EC，∴△EFG≌△EFC，∠FEG=∠FEC
由图得知：∠AED+∠AEG+∠FEG+∠FEC=180°，即2·（∠FEG+∠AEG）＝180°，则·∠FEG+∠AEG＝90°
∴EF⊥AE

Answer 3

证明全等三角形aef和ead