Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，点E是边BC上的一点，过点E作FE垂直BE交AB

于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作圆E交BC于点D。
1...求证斜边ab是圆o的切线

2...设若AB与圆E相切的切点为G，AC=8，EF=5，连接DA，DG，求S三角形ADG。

Answer 1

1.证明：连接AE，因为AB为直径
所以角BEA为直角，所以角AEC为直角
在三角形AEC中，F为AC中点
所以EF=1/2AC=FC
所以角C等于角FEC
又因为OE、OB为半径
所以OE=OB
所以角B等于角 BEO
因为角B+角C=90度
所以角BEO+角EFC=90度
所以角OEF为90度
即OE垂直于EF
OE为半径
所以EF是圆O的切线
2.由题目易知道CE=4,AC=8,
求出AE=4倍根号5，
求出CG=5分之16倍的根号5，
求出GD=5分之8倍的根号5，
s△CDG=5分之64，
s△ADG=s△GDE=2分之1倍s△CDG=5分之32.

Answer 2

1、作EG⊥AB于G，
两垂直图形中，S△BEF=（1/2）BF*EG=（1/2）BE*EF
EG=BE*EF/BF ①
由于EF∥AC，
BE/EC=BF/AF ②
又∵AF=EF ③
①、②、③联立得EG=EC

∴AB是⊙E的切线

2、作DH ⊥AB于H，连接AE，
∵△AEG≌△AEC，

∴AG=AC=8，
∵AF=EF=5，
∴FG=AG-AF=3，
Rt△GFE中，EG=4，
⊙E半径为4，DE=EC=4，

两垂直图形中，△BEG∽△EFG，
BE/EF=EG/FG，

BE/5=4/3，
BE=20/3。
BD=BE-DE=8/3。

DH∥EG，DH/EG=BD/BE，
DH/4=（8/3）/（20/3），
∴DH=8/5。

S△ADG=（1/2）*AG*DH=1/2*8*8/5=32/5