Question

导函数不一定是连续函数？而且间断点只能是第二类？

为什么？函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等吗？如果有间断点，那怎么可导，而且为什么是第二类间断点？

Answer 1

函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等，这个没错，但是这个是说函数要连续，但是并不意味着导函数也要连续。
函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。

关于间断点
首先我们讨论一下原函数的存在性：
1.当f(x)连续时，一定存在原函数F(X)
2.当f(x)存在第一类间断点时，一定不存在原函数。
言外之意就是，f(x)存在第二类间断点时，可以存在原函数。
然后我们来讨论你的问题，首先导函数不一定是连续函数，前面已经讲了。那么我们来讨论，导函数的间断点是否必须为第二类。
既然是“导函数”，说明是某函数求导得到的函数。也就是说，该“导函数”一定是有原函数的。
既然有原函数，根据前面的原函数存在性定理，那么必须不能有第一类间断点，可以是连续的，
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下面给出详细的证明。

首先我们要搞清楚，导数的左（右）极限=左（右）导数的条件是什么。
设f(x) 在x=c点邻域内连续，可导。且导函数在c点左右两侧极限存在（假设极限为A）。

f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c)，由罗比达法则，f`(c-0)=limf`(x)=A
x-c-
也就是此时左导数=导数的左极限=A
同理此时右导数=导数的右极限=A

下面我们证明，导数的间断点只能是第二类间断点。
反证法：假设x=c是导函数f`(x)的间断点，且是第一类间断点（即limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在）

因为limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在，则f`(c-0)=f`(c+0)，也就是说，x=c是导函数f`(x)的连续点。
矛盾。

所以只能是第二类间断点。

Answer 2

这句话的前提应该是导函数在某个区间上存在，然后再讨论导函数的连续性问题。而不是原函数的连续性问题。

正是因为导数存在，所以如果导函数f'(x)的间断点是第一类间断点，那么左右导数的极限就存在且不等，于是原函数f(x)不可导，与前提矛盾。所以只能是第二类间断点。

Answer 3

是导函数有间断点。具体的经典例子是f(x)=x^2 sin (1/x) （的导函数）在x=0的情形。

可以证明导函数满足中介值性质，是说如果f'(a)>0，f'(b)<0，那么存在a,b之间的一个c满足f'(c)=0（跟连续函数的中介值性质是一样的）。证明想法简述如下。不妨假定a<b。取一个足够小的h>0，使得
(f(a+h)-f(a)) / h >0，也就是a点旁边的一段割线的斜率大于0，类似b点旁边一段割线的斜率小于0。那么a、b之间有一段割线的斜率等于0，也就是f(p+h)=f(p)，其中a<p<p+h<b。这是f(x)本身作为连续函数的中介值性质。根据Rolle或者Lagrange中值定理，有f'(c)=0，其中c是某个p和p+h之间的数。

有中介值性质就不能有导函数在一点左右极限不相等的那种间断点。