Question

求解答关于微分方程的题目~

Answer 1

解：∵齐次方程y"-2y'+y=0的特征方程是r^2-2r+1=0，则r=1 (二重实根)
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是常数)
于是，设原方程的解为y=(C1(x)x+C2(x))e^x (C1(x),C2(x)是关于x的函数)
令C1'(x)x+C2'(x)=0........(1)
∵y'=(C1(x)x+C2(x))e^x+(C1'(x)x+C2'(x)+C1(x))e^x=(C1(x)x+C2(x)+C1(x))e^x
y"=(C1(x)x+C2(x)+C1(x))e^x+(C1'(x)x+C2'(x)+C1'(x)+C1(x))e^x
=(C1(x)x+C2(x)+2C1(x)+C1'(x))e^x
代入原方程，化简得 C1'(x)e^x=e^x/x
==>C1'(x)=1/x
∴C1(x)=∫dx/x=ln│x│+C1* (C1*是常数)
∵由(1)式，得 C2'(x)=-C1'(x)x=-1
∴C2(x)=-∫dx=C2-x (C2是常数)
故原方程的通解是y=((ln│x│+C1*)x+C2-x)e^x
=((ln│x│+(C1*-1))x+C2)e^x
=((ln│x│+C1)x+C2)e^x (令C1=C1*-1)。