Question

设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，

设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线L交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设O为坐标原点，若向量OP=m*向量OA+n*向量OB （m，n属于R）,且mn=2/9，则该双曲线的离心率为多少？ 急急急！

Answer 1

双曲线渐近线为y=±b/a*x
右焦点为F(c,0)，c^2=a^2+b^2
过右焦点与x轴垂直的直线为x=c
与渐近线的交点为A(c,eb), B(c,-eb)
与双曲线的交点之一为P(c,b√(e^2-1))
向量OP={c,b√(e^2-1)}
m向量OA=m{c,eb}={mc,meb}
n向量OB=n{c,-eb}={nc,-neb}
m向量OA+n向量OB={(m+n)c,(m-n)eb}={c,b√(e^2-1)}=向量OP
=> m+n=1, mn=2/9, (m-n)e=√(e^2-1)
解得m=2/3, n=1/3
代入(m-n)e=√(e^2-1)得e/3=√(e^2-1)
可解得e=3√2/4