Question

E、F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线上的点，且BE=DF，EF分别交线段AC、AD于M、N两点（E不与B、C重合)

(1)求证：△AEM∽△FCM
(2)若S△cef:S△aef=1:2,求tan∠EFC的值
（3）设AM/AC=x，AN/AD=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域
要详细过程，急急急急。。。。。。。。

Answer 1

（1）若AB=1，E是BC的中点，试求△AEF的面积；
如图
已知四边形ABCD为正方形，所以：AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°
已知BE=DF
所以，Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）
所以，AE=AF………………………………………………（1）
且，∠BAE=∠DAF
已知，∠BAE+∠DAE=90°
所以，∠DAF+∠DAE=90°
即，∠EAF=90°…………………………………………（2）
由(1)(2)知，△EAF为等腰直角三角形
在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE^2=AB^2+BE^2=1+(1/4)=5/4
则，S△AEF=(1/2)AE*AF=(1/2)AE^2=(1/2)*(5/4)=5/8

（2）求证：△AEM∽△FCM；
由前面知，△AEF为等腰直角三角形
所以，∠AEM(F)=45°
四边形ABCD为正方形，AC为对角线
所以，∠FCM=45°
所以，∠AEM=∠FCM……………………………………（1）
而，∠AME=∠FMC（对顶角）…………………………（2）
由(1)(2)知，△AEM∽△FCM

（3）若S△CEF：S△AEF=1：2，试求tan∠EFC的值；
设CE=x＜1，则BE=1-x
所以，DF=BE=1-x
所以，CF=1+(1-x)=2-x
那么，在Rt△CEF中由勾股定理得到：EF^2=CE^2+CF^2=x^2+(2-x)^2
=x^2+x^2-4x+4
=2x^2-4x+4
而△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形
所以，S△AEF=(1/2)*EF*(EF/2)=(1/4)EF^2=(1/4)*(2x^2-4x+4)
=(1/2)*(x^2-2x+2)
又，S△CEF=(1/2)CE*CF=(1/2)*x*(2-x)
已知S△CEF:S△AEF=1:2
即，S△AEF=2S△CEF
===> (1/2)(x^2-2x+2)=2*[(1/2)x(2-x)]
===> x^2-2x+2=2x(2-x)=4x-2x^2
===> 3x^2-6x+2=0
===> x=[6±√(36-24)]/6=(6±2√3)/6=(3±√3)/3
因为x=(3+√3)/3＞1，不合题意，舍去
所以，x=(3-√3)/3
则，CF=2-x=2-[(3-√3)/3]=(3+√3)/3
所以，tan∠EFC=CE/CF=[(3-√3)/3]/[(3+√3)/3]=(3-√3)/(3+√3)
=2-√3

设正方形的边长为1,EB的长度为a，求出各点的坐标，分别求出直线EF,AB的解析式再求出点M,N的坐标再求出AM.AN的长度即可，结果是：y=2x/1+二次根号下2x-1