Question

一道关于二次函数的数学题

在直角坐标系已知点A(0,1)B(-4,4)将点B绕点A顺时针旋转90度得到点c顶点在坐标原点的抛物线经过点B
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

Answer 1

(1) 由抛物线图像可设：y=kx²  因B（-4,4）在抛物线上，故可代x=-4,y=4,计算出k=1/4.

     所以抛物线的解析式是y=1/4 x².

     设C的坐标(x,y)，可以根据构造等腰直角△BAC、△BDA、△AEC来计算，其中，∠BAC=∠BDA=∠AEC=90°，AB=AC=5，AD=4，BD=4-1=3，BC=5√2。如下图所示

根据△全等相关理论，可以证得：△BDA≌△AEC，即有CE=AD=4，BD=AE=3，C占到x轴的距离为CE+1=4+1=5，所以C的坐标为(3,5)。

 

(2) 设P(x,y)，根据距离公式，有 d2=√[(x-0)²+(y-1)²]=√[x²+(y-1)²]，d1=y

因P在抛物线上，满足y=1/4 x² <=> x² =4y, 代入d2，得d2=√[4y+(y-1)²]=√(y+1)²=y+1=d1+1。

 

(3) 由(2)条件可知，|PA|=d2=d1+1,d2有min值时，d1也有min值，设P垂直于x轴的动点为Q，即|PQ|=d1,设|CP|=d3，△PAC的周长=|AC|+|CP|+|PA|=5+d2+d3=5+(d1+1)+d3=6+d1+d3，题意所求周长的最小值，即需要求d1+d3的最小值，由图中可知，当且仅当CP与PQ为一条直线时，有d1+d3有最小值，此时d1+d3=5，周长最小值为11.