Question

正交列向量

正交矩阵中列向量正交,为什么行向量一定正交?
给出一组线性无关组后,用施密特标准正交化求出的一组正交向量,组成矩阵后,为什么一定就是正交矩阵?求的过程中只保证了列向量是正交的,为什么求出来后行向量也是正交的?

Answer 1

证明：
设A=[a1...an]
a1..an是一组线性无关的列向量
经过施密特标准正交化后
B=[b1...bn] b1..bn是标准正交的列向量组
所以 BTB=[b1T]
..* [b1..bn]= E.(1) E是单位阵 T表示转置
[bnT]
B=[c1] b1..bn是B的行向量组
..
[cn]
将(1)两边取转置
B*BT=E
[c1]
..* [c1T...cnT]=E
[cn]
根据分块矩阵乘法
[c1c1T c1c2T ...c1cnT]
...= E
[cnc1T cnc2T ...cncnT]
所以
(ci,cj)=cicjT= 1 i=j 这里cicj是行向量
0 i不等于j
上式说明B的行向量组是一组标准正交的向量
即证