Question

两道《线性代数》矩阵部分的选择题。

1.A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则|A|和|B| ( )
A至多一个等于零 B都不等于零 C只有一个等于零 D都等于零
答案D 为什么？
2.n阶矩阵A可以表示成若干个初等矩阵之乘积，则A为 （ ）
A 初等矩阵 B 单位矩阵 C 可逆矩阵 D奇异矩阵
答案是C 为什么？

Answer 1

1.
AB=0时，一个重要的结论就是：
r(A)+r(B)<=n，显然，r(A)和r(B)都小于n，也就是|A|,|B|都为0

2.n阶矩阵A可以表示成若干个初等矩阵之乘积，假设
A=P1P2P3P4P5P6=(P1P2P3)E(P4P5P6)
这相当于是对E做了6次初等变换得到了A，初等变换不改变矩阵的秩，所以A的秩=E的秩，所以A显然是满秩，自然|A|不为0，A可逆

Answer 2

第一：AB=0,则lABl=lAllBl=0
不妨设lAl=0，lBl/=0
A=(a1,a2...,an)
AB=0,
a1B=0
a1B=0
...
anB=0
∵lBl/=0
∴a1=a2=...=an=0
A=0与题设不符，故lAl=lBl=0
第二：
A=p1*p2...pn
p1,p2...pn,为可逆矩阵，p1~p2~p3~A~E
故A可逆