Question

若函数f(x)=[x/(a+e^bx)]在R上连续,且当x趋向负无穷，f(x)=0 为什么可得a≥0,b＜0?

Answer 1

首先，f(x)在R上连续，分母不能为零，e^bx是大于0的，a<0的时候分母就有等于0的可能，函数就存在间断点，因此a≥0；
其次，分子趋于无穷大，这时只有分母也趋于无穷大才能使极限存在，a是常数，e^bx必须是无穷大，b<0；
可以检验一下，a、b满足题设条件时，用洛必达法则可求得极限值为0。

Answer 2

当x趋向负无穷时

先看e^bx

e^bx只有可能三种情况

1.b>0
e^bx趋向于0

2.b<0
e^bx趋向于正无穷

3.b=0
e^bx=1

第一种情况：f(x)趋向于x/a，a为常数，显然f(x)趋向于无穷 反正不为0
第二种情况：待定 有可能为0 后面会做考虑
第三种情况：同（1） 反正不为0

所以b<0必须的
（验证如下）
此时f(x)为无穷/无穷型的 所以使用洛必达法则
得1/(e^bx * b) 显然这个是趋向于0的 满足条件！

又因为f(x)在R上连续，所以不能存在间断点，分母不能为零，a>=0

得证！