△ABC中,∠CAB=2α,且0°<α<30°,AP平分∠CAB
你好！
数学之美团为你解答
解法一：
延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM．（如图1）
∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠1=∠2= α．
在△AMP和△ABP中，
∵AM=AB，∠1 =∠2，AP=AP，
∴△AMP≌△ABP．
∴PM=PB，∠3 =∠4．
∵∠ABC=60°－α，∠CBP=30°，
∴∠4=(60°－α)－30°=30°－α．
∴∠3 =∠4 =30°－α．
∵△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=(180°－∠MAB)÷2 =(180°－2α)÷2 =90°－α．
∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°．
∴△PMB为等边三角形．
∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°，
∴∠6=∠CBP．
∴BC平分∠PBM．
∴BC垂直平分PM．
∴CP=CM．
∴∠7 =∠3 = 30°－α．
∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α．
∴△ACP中，∠APC=180°－∠1－∠ACP
=180°－α－(60°－2α)
=120°＋α．
解法二：
在AB上截取AM，使AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN．（如图2）
∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠1=∠2=α．
在△ACN和△AMN中，
∵AC=AM，∠1 =∠2， AN=AN，
∴△ACN≌△AMN．
∴∠3 =∠4．
∵∠ABC=60°－α，
∴∠3=∠2＋∠NBA=α＋(60°－α) =60°．
∴∠3 =∠4 =60°．
∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°．
∴∠4 =∠5．
∴NM平分∠PNB．
∵∠CBP=30°，
∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°．
∴∠6=∠NBP．
∴NP=NB．
∴NM垂直平分PB．
∴MP=MB．
∴∠7 =∠8．
∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8，
即∠NPM=∠NBM =60°－α．
∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α．
在△ACP和△AMP中，
∵AC=AM， ∠1 =∠2， AP=AP，
∴△ACP≌△AMP．
∴∠APC=∠APM ．
∴∠APC=120°＋α．
1)当角ABC=60°时：60°<∠APC<180°；
2）当角ABC=30°时：30°<∠APC<180°；
3）当30°<∠ABC<180°时：30°<∠APC<∠APC<180°。
以上命题有范定义，亲！可以再明确一些概念！
可以了吗？
我在想呢。稍等。
