Question

数列﹛an﹜的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn（1）求...

数列﹛an﹜的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn （1）求证：数列{Sn/n}是等比数列 （2）求﹛an﹜的通项公式

Answer 1

（1）下文[
]表示下角标∵a[n+1]=(n+2)/nSn
∴Sn=na[n+1]/(n+2)
S[n-1]=(n-1)an/（n+1）
∴an=Sn-S[n-1]=na[n+1]/(n+2)-(n-1)an/（n+1）即2n×an/（n+1）
=
na[n+1]/(n+2)
∵n≠0,可同消n.即2an/（n+1）
=
a[n+1]/(n+2)
即2S[n-1]/（n-1）=Sn/n
(n≥2)即Sn/n∶S[n-1]/（n-1）=1/2=q
∴数列{Sn/n}是等比数列.Sn/n=S1/1×(1/2)ˆ(n-1)
(n≥2)
n=1时.S1/1=a1/1=1
满足Sn/n=S1/1×(1/2)ˆ(n-1)
∴{Sn/n}是为首项为1.公比为1/2的等比数列(2)由（1）已证得S［n-1］/(n-1)
∶S［n-2］/(n-2)=1/2即an/(n+1)
∶a［n-1］/n
=1/2即an/a［n-1］=(n+1)/2n同理a［n-1］/a［n-2］=n/(2(n-1))=1/2×n/(n-1)a［n-2］/a［n-3］=（n-1)/(2(n-2))=1/2×（n-1)/(n-2)a［n-3］/a［n-4］=（n-2）/(2(n-3))=1/2×（n-2）/（n-3）a［n-4］/a［n-3］=（n-3）/(2(n-4))=1/2×（n-3）/（n-4）.a₃/a₂=4/6=1/2×4/3a₂/a₁=3/4上述式子左右叠乘得an/a₁=an=n×（1/2）ˆ（n-1）