Question

已知二次函数f（x）=ax^2+（2a-1）x+1在区间[-3/2,2]的最大值为3，求实数a的值。

已知二次函数f（x）=ax^2+（2a-1）x+1在区间[-3/2,2]的最大值为3，求实数a的值。
谁能给个详细步骤..O(∩_∩)O谢谢啊~

Answer 1

f（x）=ax^2+（2a-1）x+1=a[x+(2a-1)/(2a)]^2-(2a-1)^2/(4a)+1
当a<0时有
（1）-(2a-1)/(2a)∈[-3/2,2]，-(2a-1)^2/(4a)+1=3
没有a满足要求
（2）-(2a-1)/(2a)>2,f（2）=4a+2（2a-1）+1=3
没有a满足要求
（3）-(2a-1)/(2a)<-3/2,f（-3/2）=9a/4-3（2a-1）/2+1=3
a=-2/3
当a>0时有
（4）-(2a-1)/(2a)∈[-3/2,2]，f（2）=4a+2（2a-1）+1=3或f（-3/2）=9a/4-3（2a-1）/2+1=3
a=1/2
（5）-(2a-1)/(2a)>2，f（-3/2）=9a/4-3（2a-1）/2+1=3
没有a满足要求
（6）-(2a-1)/(2a)<-3/2,f（2）=4a+2（2a-1）+1=3
没有a满足要求
综合上述分析得a=-2/3或a=1/2。

追问

没简洁一点的方法么……

追答

熟练可以这样:f（x）=ax^2+（2a-1）x+1=a[x+(2a-1)/(2a)]^2-(2a-1)^2/(4a)+1
（1）-(2a-1)^2/(4a)+1=3得ax=-1/2；但-(2a-1)/(2a)=2不属于[-3/2,2]，舍去。
（2）f（2）=4a+2（2a-1）+1=3得a=1/2。
把a=1/2代回二次函数得f（x）=x²/2+1，可有f（x）在区间[-3/2,2]的最大值为f（2）=3，满足要求。
（3）f（-3/2）=9a/4-3（2a-1）/2+1=3得a=-2/3。
把a=-2/3代回二次函数得f（x）=-2x²/3-7x/3+1，可有f（x）在区间[-3/2,2]的最大值为f（-3/2）=3，满足要求。
综合上述分析得a=-2/3或a=1/2。