Question

利用球面坐标计算三重积分时，角φ的范围必是[0，π]，角θ必是[0，2π]吗？

利用球面坐标计算三重积分时，角φ的范围必是[0，π]，角θ必是[0，2π]吗？

Answer 1

利用球面坐标计算三重积分时，角φ的范围必是[0，π]，角θ必是[0，2π]，因为数据是根据积分区域的形状而定的。如果需要为每个点定义一组唯一的球面坐标, 则必须限制它们的范围。

在不改变角度的情况下，增加或减去任意数量倍的 ，从而不改变角点。在许多情况下，允许负径向距离也很方便,，该惯例是(−r,θ,φ)等效于(r,θ+ 180 °,φ)为任意r，θ和φ。此外(r,−θ,φ)等效于(r,θ,φ+ 180 °)。

数据分析

1、积分区域是球心在原点的球域，则角φ的范围是[0，π]，角θ的范围是[0，2π]；

2、若积分区域是球心在原点的上半球域，则角φ的范围是[0，π/2]，角θ的范围是[0，2π]；

3、若积分区域是球心在原点的右半球域，则角φ的范围是[0，π]，角θ的范围是[-π/2，π/2]；

4、若积分区域是球心在原点的球在第一卦限内的区域，则角φ的范围是[0，π/2]，角θ的范围是[0，π/2]。

Answer 2

这要根据积分区域的形状而定的。
例如
1、积分区域是球心在原点的球域，
则角φ的范围是[0，π]，角θ的范围是[0，2π]；
2、若积分区域是球心在原点的上半球域，
则角φ的范围是[0，π/2]，角θ的范围是[0，2π]；
3、若积分区域是球心在原点的右半球域，
则角φ的范围是[0，π]，角θ的范围是[-π/2，π/2]；
4、若积分区域是球心在原点的球在第一卦限内的区域，
则角φ的范围是[0，π/2]，角θ的范围是[0，π/2]。
四个例子够了吗？希望你能弄明白，并且能够举一反三。