Question

已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，且当x∈﹙0，1﹚时，f(x)=2^x

(1)证明f(x+4)=f(x)
(2)求f(log2 24)的值

Answer 1

(1)
证：
因为f(x)是奇函数
所以f(-x)=-f(x)
由f(x+2)=f(-x)
得f[(x+2)+2]=f[-(x+2)]=-f(x+2)=-f(-x)=f(x)
即f(x+4)=f(x)
证毕。
(2)
解：
由(1)知f(x)的周期为4
故f(log2 24)=f[(log2 24)-4]=f[log2 (3/2)]
因为log2 (3/2)∈（0,1）
所以f[log2 (3/2)]=2^[log2(3/2)]=3/2
即f(log2 24)=3/2

答案：f(log2 24)=3/2

追问

请问f[(x+2)+2]=f[-(x+2)]是怎么得来的？

追答

就是用“x+2”代替f(x+2)=f(-x)中的"x"