Question

已知电路电压及电流有效值，求电路阻抗

如图，正弦交流电路中已知电源电压U=62.5V，各支路电流有效值分别为I1=1.5A，I2=2A，I3=2.5A,则电阻C2的阻抗值为多少？
电源电压也是有效值。

Answer 1

1. I3经R和L形成的电压与C2两端电压U2相等：（大写U2表示是复数值）
U2= I3（R+jXL)= I2(-jXc2) --------- （1）
取模得到有效值，并将I2，I3有效值代入：
2.5*sqrt(R^2+XL^2)=2*Xc2
也就是：
0.64Xc2^2=R^2+XL^2 --------------(a) 得到一个方程
2. 从（1）式得：
I2= I3(R+jXL)/(-jXc2)
由于 I1=I2+I3 ，即
I1= I3(R+jXL)/(-jXc2) +I3
=I3[1+(R+jXL)/(-jXc2)]
=I3(-jXc2+R+jXL)/(-jXc2) ---------（2）
取模得到有效值，并将I1和I3有效值代入：
1.5=2.5sqrt[R^2+(XL-Xc2)^2]/Xc2
也就是
0.36Xc2^2=R^2+(XL-Xc2)^2 -----------（b）得到第2个方程
3. 由于电源电压 U=U1+U3
U1=I1(-jXc1)
U3=I3(R+jXL)
同时由（2） I1=I3(-jXc2+R+jXL)/(-jXc2)
得到：
U=I1(-jXc1)+I3(R+jXL)
=I3(-jXc2+R+jXL)(-jXc1)/(-jXc2) +I3(R+jXL)
=I3[(-jXc2+R+jXL)Xc1)/Xc2+(R+jXL)]
取模得到有效值，并代入U和I3的有效值：
62.5=2.5sqrt{[R(Xc1+Xc2)]^2+(XLXc1+XLXc2-Xc1Xc2)^2}/Xc2
即
625Xc2^2=[R(Xc1+Xc2)]^2+(XLXc1+XLXc2-Xc1Xc2)^2 ---------(c）得到第3个方程
3个方程联立，解得电容阻抗 Xc2，

追问

第一个方程，电流I2、I3都是复数，不是有效值啊，方程两边取模不是这样取得吧，取模的时候还有电流与阻抗夹角的余弦呢。请帮忙解答一下，谢谢。有没有更简便的方法，这个方程式太难解了。

追答

1. 复数 乘积的模等于模的乘积,

2. 这道题的确有这么麻烦。

还要加一个方程才行,因为有4个未知数：Xc1,Xc2,R,XL。

1. U/I1=(-jXc1)+(R+jXL)*(-jXc2)/(R+jXL-jXc2)

取模得到有效值，代入U和I1的有效值：

       62.5/1.5=| (-jXc1)+(R+jXL)*(-jXc2)/[(R+jXL)+(-jXc2)] |

         62.5/1.5==||-j(Xc1+RXc2)+XLXc2|| /sqrt[(R^2+(XL-Xc2)^2]

           62.5/1.5=sqrt[(Xc1+RXc2)^2+(XLXc2)^2] /sqrt[(R^2+(XL-Xc2)^2]

即

        (62.5/1.5)^2=[(Xc1+RXc2)^2+(XLXc2)^2] /[(R^2+(XL-Xc2)^2]----------(d）得到第4个方程