Question

高数一道定积分的题目，有图有答案，对过程有点疑惑，求解

请问第二张图红线部分是不是对抛物线和法线都开平方了，两边都开平方不会影响结果吗

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Answer 1

请采纳，谢谢

追问

我其实是不懂那个两条线都开平方，不会影响结果吗？图二

Answer 2

划红线部分是积分过程哦
对8x积分这步我想你应该理解吧？我主要说说后面那部分吧
对∫(6-x)²dx （定积分从2到6）

因为是二次方，可以使u=6-x，那么du/dx=-1，du=-dx
原式∫(6-x)²dx等于∫-(u)²du（定积分从2到6）
=-(u³)/3（定积分从2到6）=-[(6-x)³]/3（定积分从2到6）
和开不开平方关系不大
如有疑问欢迎追问哦

追问

两边都平方是为了更好地计算吧，根号8x去根号变成8x，对应的右边也要平方，这样才能对应，所以就有(6-x)^2;是这样子吗？

追答

抱歉我发现我考虑错了你的问题，你是想问V怎么来的对吧？

这么说，题目问的是图上函数绕x轴旋转后得到的体积。

假如我把图垂直x分成非常小的部分再积累起来（定积分），如下

可以看出就是一个个非常扁的圆柱累积起来的图形。

那么每个圆柱的体积就是底面积×高（高就是dx，底面积就是πx半径的²）

那么V=∫π(根号8x)²dx（从0到2）+∫π(6-x)²dx（从2到6）这样来的。

平方不影响的原因是，这里我们需要的是当x等于2时，这个小圆柱体的地面半径是多少。这样可以理解吗？

Answer 3

这其实并不难，但它是三重积分、曲线积分、微分方程积分和三重积分的组合，这些积分在一个由旋转抛物线和平面 z = t 所包围的区域中，其中曲线 l 是两个曲面的交点，实质上是空间中一个简单的圆。三重积分采用“二首一秒”的方法，可直接将曲线积分代入解中。最后，方程的两边同时由 t 导出，微分方程可以解出来。

追问

你说的是我这道题目吗？