Question

已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m＜0， 当x∈[-1,1]时，函数y=f(x)的...

已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m＜0，
当x∈[-1,1]时，函数y=f(x)的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围？请写出过程，谢谢！

Answer 1

对f(x)求导，得f'(x)=3mx²-6(m+1)x+n
既然x=1为此函数的一个极值点，那么f'(1)=0 代入得n=3m+6
然后根据题意在-1到1 切线斜率恒大于3m 那么可知导数f'(x)在-1到1上恒大于3m
f‘（x）=3mx²-6(m+1)x+3m+6 转化为求f'(x)-3m>0问题
化简得3mx²-6(m+1)x+6，设为h(x)。
研究新函数的图像，由于m小于0，易知函数开口向下。
y轴截距为h(0)=6
那么根据函数性质 ，只要在-1，1两点函数大于0 即可满足要求
解得-4/3<m<0
解答完毕

Answer 2

f'(X)=3mx^2-6(m+1)x+n=0的一根为x=1
所以，3m-6m-6+n=0,所以，n=3m+6
f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6>3m在x属于[-1,1]上恒成立
所以，mx^2-2(m+1)x+2>0在x属于[-1,1]上恒成立
令g(x)=mx^2-2(m+1)x+2
所以,m<0且g(-1)>0且g(1)>0
所以，-4/3<m<0