Question

以A（3，4）为一个顶点，在X轴上找一点B，再在直线L：2X-Y+3=0上找一点C，构成三角形AB

以A（3，4）为一个顶点，在X轴上找一点B，再在直线L：2X-Y+3=0上找一点C，构成三角形ABC，使其周长最小，并求最小值。

Answer 1

解:直线L:2X-Y+3=0,即Y=2X+3.
设点A(3,4)关于X轴的对称点为A2,则A2为(3,-4);
点A关于直线L的对称点为A1,设其坐标为(m,n),AA1交直线L于点P，则直线A1A2与直线L的交点即为点C、与X轴的交点即为点B。
点A(3,4)、A1关于直线L对称，不妨设直线AA1为Y=-0.5X+b,则：
4=-1.5+b,b=5.5,故直线AA1为：y=-0.5x+5.5
把y=-0.5x+5.5与y=2x+3联立方程组得:X=1,Y=5。
则AA1与L的交点P为(1,5);
由线段中点坐标公式得:(m+3)/2=1;(n+4)/2=5.
解之得m=-1,n=6.即点A1（-1,6);
设直线A1A2为y=kx+b',则6=-k+b';-4=3k+b'.则k=-2.5,b'=3.5;
则直线A1A2为y=-2.5x+3.5。
1)直线A1A2与L的交点C坐标即为方程组:y=-2.5x+3.5与y=2x+3的解，X=1/9，Y=29/9。故要求的点C为(1/9,29/9).
2)直线A1A2与X轴的交点纵坐标为0，即0=-2.5x+3.5,x=7/5.
即所要求的点B为（7/5,0).
3)此时三角形ABC周长最小，最小值为：
AC+CB+BA=A1C+CB+BA2=A1A2=√[(-1-3)^2+(-4-6)^2]=2√29.