Question

高中向量问题

Answer 1

若单位向量a,b的夹角为钝角，|b-ta|(t∈R)最小值为√3/2，且(c-a)*(c-b)=0，求c(a+b)的最大值。

解析：∵单位向量a,b的夹角为钝角

设向量a=(1,0)，向量b=(cosθ,sinθ)

∴π/2<θ<π

|b-ta|=√(b^2+t^2a^2-2tab) =√(1+t^2-2t cosθ) =√[(t-cosθ)^2+sin^2θ]

∵cosθ∈(-1,0)，sinθ∈(0,1)

当t=cosθ时，|b-ta|取最小值√3/2

∴sinθ=√3/2==>θ=2π/3

∴向量b=(-1/2, √3/2)

∵向量(c-a)*(c-b)=0

∴向量(c-a) ⊥(c-b)

如图所示设向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c

∴向量CA=c-a，向量CB=c-b，

由题意，∠AOB=θ=2π/3，∠ACB=π/2

显然当|c-a|=|c-b|，即AB⊥OC时，|c|最大

|AB|=√(OA^2+OB^2-2|OA|*|OB|*cos2π/3)=√(1+1+1)=√3

此时|c|=1/2+√3/2=(1+√3)/2

(c-a)*(c-b)=c^2-c(a+b)+ab=0

∵ab=-1/2，∴c(a+b)=c^2-1/2

c(a+b)最大值=(1+√3)^2/4-1/2=(1+√3)/2