Question

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)

①f(x)在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在f(x)的定义域存在区间[a,b]，使得f(x)在[a,b]上的值域是[a/2,b/2].
(1)判断函数f(x)=√x是否属于M？并说明理由. 若是，则请求出区间[a,b]；
(2)若函数f(x)=√(x-1)+t∈M，求实数t的取值范围.

Answer 1

f(x)=x^(1/2) x>0 f'(x) =1/2(x^(-1/2)) >0单调递增 【0，4】上值域【0，2】

f‘（x）=0.5x^(-1/2) x>=1 递增
（a-1^(1/2)+t=a/2 a-1=t^2-at+a^2/4
(b-1)^(1/2)+t=b/2 b-1=t^2-bt+b^2/4
t=a/2-(a-1)^(1/2) T'(a)=1/2(1-(a-1)^(-1/2)) 1<=a<=2 T'(a)<=0 单减 a>2 T‘（a）>0
T(1)=1/2 T(2)=0 t>=0