Question

已知函数f(x)的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，若f(-1)=2.

(1)求证f(x)为奇函数。(2)求证f(x)是R上的减函数，(3)求函数f(x)在区间[-2，4]上的值域。

Answer 1

解答：
f(x+y)=f(x)+f(y)，
(1)令x=y=0
∴f(0)=2f(0)，∴f（0）=0
令y=-x
∴f(0)=f(x)+f(-x)
∴0=f(x)+f(-x)
∴ f(-x)=-f(x)
∴ f(x)是奇函数；
(2)
设x1<x2，则x2-x1>0
令x+y=x2,x=x1
f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵x>0时f(x)<0
∵ x2-x1>0可得，f(x2-x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
∴f(x1)>f(x2)
∴ f(x)在R上是减函数
（3）
f(x)是奇函数，∵f(-1)=2,∴ f(1)=-2
∵ f(x+y)=f(x)+f(y)
f(2)=f(1)+f(1)=-4
∴ f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2[f(1)+f(1)]=-8
f(-2)=-f(2)=4
由（2）f(x)是单调减函数
∴值域为[-8,4]