Question

在三角形ABC中，AB=AC，角A=30°以AB为直径画圆O交BC与点D，交AC与点E，连接DE，过点B做BP平行于DE

交圆O与点P连接EP、CP、OP。
（1）求角BOP度数（2）求证：CP是圆O切线

Answer 1

（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC；
（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故 = ，进而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，
所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知 = ，由于 = = ，所以 = ， = ，再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线．
解答： （1）解：BD=DC．
连接AD，如图1，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）解：∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴BD=DE，
∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°
∴∠DCE=∠ABC= （180°﹣30°）=75°，
∴∠DEC=75°
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=45°，
∴∠BOP=90°；

（3）证明：证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中，
∵∠OAG=30°，
∴ = ，
又∵ = = ，
∴ = ，
∴ = ，
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，
∴CP是⊙O的切线）
证法二：过点C作CH⊥AB于点H，如图2，则∠BOP=∠BHC=90°，
∴PO∥CH
在Rt△AHC中，
∵∠HAC=30°，
∴CH= AC，
又∵PO= AB= AC，
∴PO=CH，
∵四边形CHOP是平行四边形
∴四边形CHOP是矩形，
∴∠OPC=90°，
∴CP是⊙O的切线．
点评： 本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过圆心的直线与切线垂直．

Answer 2

1 连OD
OB=OD，角B=角BDO=角C。所以OD平行于AC，D是BC的中点（BD=CD）。
连AD
角BAD=1/2角A=15（等腰三角形底连上中线、角平争线、高重合）
所以DB=DE （等弧的弦相等）。 所以CD=DE，角CED=角C=75
角CDE=30
角CBP=角CDE。角PBO=75-30=45
OP=OB
角BOP=180-2*45=90

追问

还有第二问………………

Answer 3

OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP=90°
在Rt△AOG中，
∵∠OAG=30°，
∴OG/AG =1 2 ，
又∵OP/AC =OP /AB =1 2 ，
∴OP /AC =OG /AG ，
∴OG /AG =GP /GC ，
又∵∠AGO=∠CGP
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°