Question

如图,已知△ABC,按如下步骤作图:

①分别以A、C为圆心，以大于1/2AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．

求证：四边形ADCE是菱形；

Answer 1

（1）证明：由题意可知：
∵直线DE是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；
且AD=CD、AO=CO，
又∵CE∥AB，
∴∠1=∠2，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：当∠ACB=90°时，
OD∥BC，
即有△ADO∽△ABC，
∴ODBC=
AOAC=
12，
又∵BC=6，
∴OD=3，
又∵△ADC的周长为18，
∴AD+AO=9，
即AD=9-AO，
∴OD=AD2-AO2=3，
可得AO=4，
∴DE=6，AC=8，
∴S=12AC•DE=12×8×6=24．

Answer 2

①②的作图过程就是作线段AC的垂直平分线的过程，所以MN垂直平分AC，AO=OC。
又由线段垂直平分线的性质得 EA=EC，DA=DC。最后因为CE∥AB，所以∠DAC=ACE，∠ADE=∠DEC。所以△ADO≌△CEO。所以AD=CE=AE=DC。所以四边形ADCE是菱形。

Answer 3

（1）证明：由题意可知：
∵直线DE是线段AC的垂直平分线，
∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；
且AD=CD、AO=CO，
又∵CE∥AB，
∴∠1=∠2，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，
∴四边形ADCE是菱形；

（2）解：当∠ACB=90°时，
OD∥BC，
即有△ADO∽△ABC，
∴
ODBC=
AOAC=
12，
又∵BC=6，
∴OD=3，
又∵△ADC的周长为18，
∴AD+AO=9，
即AD=9-AO，
∴OD=
AD2-AO2=3，
可得AO=4，
∴DE=6，AC=8，
∴S=1/2AC•DE=1/2×8×6=24．