急!高数题:设f(x)在R上有二阶连续导数,且f(0)=0,x不等于0时,g(x)=f(x)/x;x=0时,g(x)=f'(0)

证g'(x)在R上有一阶连续导数。下面好像是个提示:x不等于0时,g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,x等于0时,g'(x)=1/2f'(0)时间很紧迫,急求... 证g'(x)在R上有一阶连续导数。下面好像是个提示:x不等于0时,g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,x等于0时,g'(x)=1/2f'(0) 时间很紧迫,急求解!!! 展开
fkdwn
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应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧?

当x≠0时, g(x)=f(x)/x
∴g'(x) = [xf'(x)-f(x)]/x²
g'(x)在x≠0时连续

x=0时,
g'(0) = lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)
=lim(x→0) [f(x)/x-f'(0)]/x
=lim(x→0) [f(x)-xf'(0)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

又lim(x→0) [xf'(x)-f(x)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

∴lim(x→0) g'(x) =g'(0)
即g'(x)在x=0处连续

综上可得g'(x)在R上连续,即g(x)在R上有一阶连续导数
更多追问追答
追问
这个我也觉得很奇怪……题目上写的就是证g'(x)
追答
应该是g(x)
因为g'(0)=(1/2)f''(0)
而题设只有f(x)二阶可导,是否三阶可导并不确定
所以g''(0)是否存在不确定
nsjiang1
2012-11-11 · TA获得超过1.3万个赞
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证明:x不等于0时,g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,
x等于0时,g'(0)=lim(g(x)-g(0))/x=lim(f(x)/x-f'(0))/x
=lim(f(x)-xf'(0))/x^2=lim(f'(x)-f'(0))/2x=1/2f''(0)
x趋于0时,limg'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,=lim(f'(x)+xf''(x)-f('x))/2x=limf''(x)/2=f''(0)/2 =g'(0)
所以:g'(x)在R上连续
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Gold清风梦竹
2012-11-12
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应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧?加油 你是最棒的
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tutu555s
2012-11-12
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