Question

线性代数中非齐次线性方程组特解与对应齐次线性方程组的基础解系是否线性无关？如何证明？

Answer 1

η1，η2......ηk 是基础解系。所以η1，η2......ηk线性无关。

（η0，η1+η0，η2+η0......ηk+η0）=（η0，η1，η2......ηk ）
所以证明（η0，η1+η0，η2+η0......ηk+η0）无关也就是证明（η0，η1，η2......ηk ）无关，
我们知道，如果a1，a2.....an无关，而a1，a2.....an，β相关，则β可以由a1，a2.....an表示，且表示法唯一。

反证法：设（η0，η1，η2......ηk ）相关，又因为η1，η2......ηk线性无关。则η0可以由
η1，η2......ηk线性表示，且表示法唯一。

显然，其次方程组Ax=0的基础解系，不一定能表示非其次方程组Ax=b的特解。所以矛盾。

（假设非其次方程组一个特解为b，其次方程组通解为k1a1+k2a2，则非其次方程组的通解为
k1a1+k2a2+b，如果b可以被a1，a2表示，则通解可以化为k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2，这其实是其次方程组Ax=0的解，而不是非其次方程组Ax=b的解）

则（η0，η1，η2......ηk ）无关，则（η0，η1+η0，η2+η0......ηk+η0）无关。