Question

二元一次方程消元法

Answer 1

将二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的二个未知数消去一个未知数，得到一元一次方程，从而实现消元，进而解决问题。下面举例说明：
一、利用代入法快速求值：
在二元一次方程组的一个方程中，把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
二、利用加减法快速求值
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
合理利用此思想，在求值题中同样可以收到事半功倍的效果。
例3. 若4x+5y=10，且5x+4y=8，则。
解：由题意得：
由 ① + ② 得：9x+9y=18 即：x + y= 2
由 ② － ①得：x － y=-2
所以 -1
点评：若直接把4x+5y=10和5x+4y=8组成方程组，求出方程组的解，再把解代入求值。这样运算量不仅大，而且容易出错。
如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值，于是此题迎刃二元一次方程组中的数学思想，主要是指数学的“消元”思想，即：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的二个未知数消去一个未知数，得到一元一次方程，从而实现消元，进而解决问题。下面举例说明：
一、利用代入法快速求值：
在二元一次方程组的一个方程中，把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
二、利用加减两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

Answer 2

二元一次方程组中的数学思想，主要是指数学的“消元”思想，即：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的二个未知数消去一个未知数，得到一元一次方程，从而实现消元，进而解决问题。下面举例说明：
一、利用代入法快速求值：
新人教版7年级下册105页有这样的描述：在二元一次方程组的一个方程中，把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
借此消元思想，我们可以快速地解决许多求定值的问题。
例1.若3x-4y=0，且xy≠0，则的值等于 。
　　解. 由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入 得
　　=
=
点评：此题巧妙借助代入法解决求定值问题。
例2. 已知x2-2x-5=0,将下列式子先化简再求值：（x-1）2
+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3
=3x2-6x-5
=3(x2-2x)-5
∵x2-2x-5=0
∴x2-2x=5
∴原式=3×5-5=10
点评：利用“整体思想”将所给条件x2-2x-5=0变形为x2-2x=5，然后整体代入化简后的式子3(x2-2x)-5中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程x2-2x-5=0，得x=1±√6，再分别代入3x2-6x-5中求值，则没有抓住题目特征进行简便运算。
二、利用加减法快速求值：
新人教版7年级下册108页有这样的描述：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
合理利用此思想，在求值题中同样可以收到事半功倍的效果。
例3. 若4x+5y=10，且5x+4y=8，则。
解：由题意得：
由 ① + ② 得：9x+9y=18 即：x + y= 2
由 ② － ①得：x － y=-2
所以 -1
点评：若直接把4x+5y=10和5x+4y=8组成方程组，求出方程组的解，再把解代入求值。这样运算量不仅大，而且容易出错。
如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值，于是此题迎刃而解。
三、化“未知”为“已知”
例4.已知

，则x：y：z= ；
解：将方程组

中
由② － ①得：y－3z=0
∴ y=3z ③
把 ③ 代入 ② 中得：x = 2z
∴x：y：z=2z:3z:z= 2：3：1
点评：此方程组中含有三个未知数，要解决该问题，就需要大胆创新，我们初一学生只学习了解二元一次方程组，根据化“未知”为“已知”的“消元”思想，就创造性地把它看作是关于x、y的二元一次方程组，从而找到解决问题的突破口。
总之，教师若能在平时教学中合理展示数学思想和具有代表性的数学方法，既可以让学生明晰数学知识之间的脉络和联系，同时还有利于提高学生的解决问题的能力。