Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ）+acos（2x+φ），其中a，φ为正常数，...

已知函数f（x）=sin（2x+φ）+acos（2x+φ），其中a，φ为正常数，且0＜φ＜π，若f（x）的图象关于直线x=π6对称，f（x）的最大值为2． （1）求a和φ的值； （2）由y=f（x）的图象经过怎样的平移得到y=2sin(2x+π3)的图象．

Answer 1

解：（1）函数f（x）=sin（2x+φ）+acos（2x+φ）=1+a2sin（2x+φ+θ），其中tanθ=a．
由三角函数的性质可知，函数的周期是π，f（x）的图象关于直线x=π6对称，
函数在y轴右侧的第一个最大值为x=π6s时取得．
∴2×π6+φ+θ=π2，φ+θ=π6，
f（x）的最大值为2．∴1+a2=2，∴a=±3，
当a=3时，tanθ=a=3，θ=π3，∵0＜φ＜π，φ=-π6（舍去）．
当a=-3时，tanθ=a=-3，∴θ=-π3，∵0＜φ＜π，φ=π2．
∴a=-3，φ=π2．
（2）由（1）可知函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+π6），
将函数的图象向左平移π12，可得f（x）=2sin[2（x+π12）+π6]=2sin(2x+π3)的图象．