Question

设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=2x-m x2+1

判断f（x）在区间R上的单调性，并加以证明
是f(x)=2x-m/x²+1

Answer 1

因f(x)的定义域并不是R，则“f(x)在区间R上的单调性”一说不严格。而且f(x)的单调性在区间R上讨论起来没什么意义。应该题目有问题。大致讲一下方法吧

因⊿=√(m^2+4)>0恒成立
则m为任意实数R，方程x2-mx-1=0总有两个不等实根

当m=0时，f(x)=2x+1，该函数在x<0或x>0区间上都是增函数

当m≠0时，f(x)=2x-m/x^2+1
令x1<x2
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1){[2x1^2*x2^2+m(x1+x2)]/(x1^2*x2^2)}
显然x2-x1>0，x1^2*x2^2>0
当x<0且m<0时，x1+x2<0
则f(x2)-f(x1)>0，表明f(x)为增函数
当x>0且m>0时，x1+x2>0
则f(x2)-f(x1)>0，表明f(x)也为增函数

追问

看错了。。前面还有个α=-1，β=1

追答

那就好办了。由韦达定理有α+β=m，所以m=0，这时函数f(x)=2x+1，该函数在R上是增函数。
证明：
令x10
则由单调性定义知f(x)为增函数

Answer 2

∵α，β是方程x2-mx-1=0的两个实根
∴α+β=mα•β=-1
∴f(α)=(2α-m)/(α^2+1)=(2α-(α+β))/(α^2-αβ)=(α-β)/(α(α-β))=1/α
同理f(β)=1/β
∴αf（α）+βf（β）=2