Question

已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)是f(x)的导函数，且xf'(x)-f(x)＞0

已知函数f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)是f(x)的导函数，且xf'(x)-f(x)＞0在(0，+∞)上恒成立。 (1)求函数F(x)=f(x)/x的单调区间 (2)若函数f(x)=lnx+ax∧2，求满足题目条件的实数a的取值范围 (3)设x0是f(x)的零点，m,n∈(0,x0),求证f(m+n)/f(m)+f(n)<1

Answer 1

,F'(x) =[ f'(x)*x - f(x)]/x^2 > 0
所以F(x)是增函数,即有单调增区间是(0,+无穷)
f(x)=lnx-ax^2
f'(x)=1/x-2ax
xf'(x)-f(x)=1-2ax^2-lnx+ax^2=1-ax^2-lnx>0在(0,+OO)内恒成立
设g(x)=1-ax^2-lnx
g'(x)=2ax-1/x=(2ax^2-1)/x
(1)a<=0时有g'(x)<0,此时g(x)单调减.不可能在(0,+OO)内恒大于0,故舍
(2)a>0,令g'(x)=0,解得x=根号(1/2a)
在(0,根号(1/2a))上,g'(x)<0,函数单调减,在(根号(1/2a),+oo)上,g'(x)>0,单调增
故函数g(x)在x= 根号1/2a时有极小值,即有g(根号1/2a)>0即可.
1-a×1/(2a)-ln根号1/(2a)>0
1/2>1/2ln(1/2a)
ln(1/2a)<1
1/2a<e
2a>1/e
a>1/(2e)
即范围是a>1/(2e).

求采纳

追问

兄台，你注意到第三问了吗，那个才是重点……前两问我都会啊……实在是不好意思。

注意，第二问f(x)=lnx+ax∧2你把加号看成减号了

追答

你看是你想要的吗

追问

顺带一句，第二问的题目是加，不是减……不过，万分感谢

追答

哦哦呵呵 谢谢你的告诫 让我又提升了一步