Question

如图,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1,的离心率为根号6/3,过顶点A,B的直线与原点的距离为根号3/2，求椭圆方程

Answer 1

e=c/a=根号6/3,即有c^2/a^2=2/3

设AB的方程是x/a+y/b=1,即有bx+ay-ab=0
原点到AB的距离是|ab|/根号(a^2+b^2)=根号3/2
平方得:a^2(a^2-c^2)=3/4*(a^2+a^2-c^2)
a^2*(a^2-2/3a^2)=3/4(2a^2-2/3a^2)
1/3a^2=3/4*4/3
a^2=3
c^2=2/3a^2=2
b^2=3-2=1
即椭圆方程是x^2/3+y^2=1

Answer 2

心率为根号6/3, 设a=3t c=√6t b=√3t
设 过顶点A,B的直线 为
x/a+y/b=1 bx+ay-ab=0
过顶点A,B的直线与原点的距离d=|-ab|/√(a^2+b^2)=3√3t^2/2√3t=3t/2
过顶点A,B的直线与原点的距离为根号3/2，
根号3/2=3t/2
t=√3/3
所以a=√3 b=1
椭圆方程 x^2/3+y^2=1