Question

如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，点D是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC

(1)∠APO+∠BCO
(2)AB=AO+AP
(3)S△ABC=S四边形AOCP

Answer 1

1、问题不完整，可能应该是∠APO+∠BCO=30°吧？
连结BO，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD也是BC边上的中线，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴OB=OC，（线段的垂直平分线上任意一点至两端点距离相等），
∵OP=OC，
∴OB=OP，
∴△OBP是等腰△，
∴〈APO=〈ABO，
∵△OBC是等腰△，
∴〈OCD=〈OBD，
∴〈APO+〈OCD=〈ABO+〈OBC，
∵〈BAC=120°，
∴〈AB=（180°-120°）/2=30°，
∴∠APO+∠BCO=30°。
2、在AB上截AF=AO，
∵AD是〈BAC的平分线，
∴〈FAO=60°，
∴△AFO是正△，
∴AF=AO，
由前所述OB=OP，〈FBO=〈APO，
〈BFO=180°-60°=120°，
〈OAP=120°，
∴〈BOF=180°-120°-〈FBO，
〈POA=180°-120°-〈APO，
∴〈BOA=〈PAO，
∴△BFO≌△PAO，
∴AP=BF，
∴BF+AF=AO+AP，
∴AB=AO+AP。
3、作CM⊥BP，垂足M，
S△ABC=AB*CM/2，
S四边形AOCP=S△AOC+S△APC
=CD*AO/2+CM*AP/2，
∵〈DAC=〈MAC=60°，
AC+AC，（公用边），
〈MADC=〈AMC=90°，
∴RT△ADC=RT△AMC，
∴CD=CM，
∴S四边形AOCP=CD（AO+AP）/2，
由（2）所述，
AP+OA=AB，
∴S四边形AOCP=CD*AB/2，
S△ABC=AB*CD/2，
∴S四边形AOCP=S△ABC。