Question

已知f(x)=x+a/x.a=0时,讨论f(x)的单调性.a<0时,讨论f(x)的单调性.a=4时 讨论。a>0时讨论

已知f(x)=x+a/x.a=0时,讨论f(x)的单调性.a<0时,讨论f(x)的单调性.a=4时 讨论。a>0时讨论

Answer 1

解
1、当a=0时，f(x)=x，是一次函数，且在R上单调递增。
2、当a<0时，设x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)
=x1+a/x1-(x2+a/x2)
=(x1-x2)-a(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-a)/x1x2
因为x1、x2∈（-∞,0),x1<x2，且a<0
所以(x1-x2)(1-a)/x1x2<0
即f(x1)-f(x2)<0
又x1<x2
则函数f(x)=x+a/x在（-∞,0)上递增
同理可证明该函数在（0，+∞)上递增
综上：当a<0时，函数f(x)=x+a/x在（-∞,0)上单调递增，在（0，+∞)单调递增 。
3、a>0时，根据均值不等式有：
当x>0时
f(x)=x+a/x≥2√(x*a/x)=2√a
等号成立时
x=a/x
x=√a
所以在0<x<√a时，函数单调递减
x>√a,函数单调递增
,当x<0时
f(x)=x+a/x≤2√(x*a/x)=2√a
等号成立时
x=a/x
x=-√a
所以在-√a<x<0时，函数单调递增
x<-√a,函数单调递减
4、当a=4时，根据3的结论可得：
x<-2时，函数单调递减；
-2<=x<0时，函数单调递增；
0<x<=2时，函数单调递减；
x>2时，函数单调递增。

Answer 2

1,f(x)=x+a/x.a=0时f(x)=x是一次函数,f(x)是增函数
2，a<0时f(x)=x+a/x，（x≠0）
其导函数f′(x)=[x+a/x]′=1-a/x²＞0
即当x属于(负无穷大，0）f(x)是增函数
即当x属于(0，正无穷大）f(x)是增函数
3，a>0时，f(x)=x+a/x，（x≠0）
其导函数f′(x)=[x+a/x]′=1-a/x²，
令1-a/x²=0，即x=正根a或x=-根a
当x属于(正根a，正无穷大）f(x)是增函数
当x属于(0，正根a）f(x)是减函数
当x属于(-根a，0）f(x)是减函数
当x属于(负无穷大，-根a）f(x)是增函数

追问

我们没学过导数，怎么解

追答

没学过导数那很麻烦的呀，特别a＞0，要讨论分析半天，
其实这函数在高中很重要，你死记硬背记住它的性质就行了。不用证。

Answer 3

（1）a=0时
f(x)=x
导数f'(x)=1＞0
所以
函数f(x)的单调增区间是（-∞，0）和（0，+∞）
（2）a＜0时
f(x)=x+a/x
导数f'(x)=1-a/x²＞0
所以
函数f(x)的单调增区间是（-∞，0）和（0，+∞）

（3）a=4时
f(x)=x+4/x
导数f'(x)=1-4/x²
令f'(x)=1-4/x²＞0，解得x＜-2或x＞2
令f'(x)=1-4/x²＜0，解得 -2＜x＜2
所以
函数f(x)的单调增区间是（-∞，-2）和（2，+∞）
函数f(x)的单调增区间是（-2，2）

（4）a＞0时
f(x)=x+a/x
导数f'(x)=1-a/x²
令f'(x)=1-a/x²＞0，解得x＜-√a或x＞√a
令f'(x)=1-a/x²＜0，解得 -√a＜x＜√a
所以
函数f(x)的单调增区间是（-∞，-√a）和（√a，+∞）
函数f(x)的单调增区间是（-√a，√a）

追问

我们没学过导数

追答

没学过可以用函数增减性的定义做，但很繁琐！
但结果是一样的，就是我的答案！

Answer 4

a=0 f(x)=x f(x)为增函数