Question

已知,如图 AB=CD BE=DF AF=CE 求证 (1)AB//CD(2)BE//DF(3)OE=OF

Answer 1

∵AF=CE
∴AE+EF=EF+CF
即AE=CF
∵AB=CD，BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SSS)
∴∠C=∠A，∠AEB=∠CFD
∴AB∥CD(内错角相等）
∠DFO=∠BEO(∠DFO=180°-∠CFD,∠BEO=180°-∠AEB)
∴BE∥DF(内错角相等）
在△DOF和△BOE中
∠DOF=∠BOE，∠DFO=∠BEO，BE=DF
∴△DOF≌△BOE(AAS)
∴OE=OF

Answer 2

证明：
（1）∵AF＝CE（已知）
即AE+EF＝CF+EF
∴AE＝CF（等式性质）
在⊿ABE和⊿CDF中
AB＝CD（已知），BE＝DF（已知）AE＝CF（已证）
∴⊿ABE≌⊿CDF（SSS）
∴∠A＝∠C（全等三角形对应边相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
（2）∵⊿ABE≌⊿CDF（已证）
∴∠ABE＝∠CDF（全等三角形对应角相等）
∵AB∥CD（已证）
∴∠ABD＝∠CDB（两直线平行，内错角相等）
∴∠EBD＝∠FDB（等式性质）
在⊿OBE和⊿ODF中
∠EBD＝∠FDB（已证），∠EOB＝∠FOD（对顶角相等），BE＝DF（已知）
∴⊿OBE≌⊿ODF（AAS）
∴∠OEB＝∠OFD（全等三角形对应角相等）
∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）
（3）∵⊿OBE≌⊿ODF（已证）
∴OE＝OF（全等三角形对应边相等）