Question

已知函数f(x)的导数是f'(x)， 若2f(x)+xf'(x)>x^2,则下列不等式在实数集上恒

已知函数f(x)的导数是f'(x)，
若2f(x)+xf'(x)>x^2,则下列不等式在实数集上恒成立的是
a.f(x)>0 b.f(x)<0 c.f(x)>x d.f(x)<x
怎样求解？谢谢！

Answer 1

解法一、因为 2f(x)+xf′(x)＞x² …………①，下面予以讨论：
（1）x= 0时，代入①得： f(0) ＞ 0
（2）x＞0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x²f′(x) ＞ x³ ， 即
[x²f(x)]′＞ x³＞0, 所以函数y= x²f(x）是R+上的增函数，而x＞0，
故： x²f(x) ＞ 0²f(0) = 0 ， 所以 f(x) ＞ 0
（3）x＜0 时，①的两边同乘以x ：2xf(x)+x²f′(x) ＜ x³， 即
[x²f(x)]′＜x³＜ 0, 所以函数y= x²f(x）是R-上的增函数，又x＜ 0,
故： x²f(x)＞ 0²f(0) = 0 ， 所以也有 f(x) ＞0
综上可知，x∈R 时，总有 f(x)＞0
所以选 A
解法二、
选择题也可以这样来做！
把x=0代入 2f(x)+xf′(x)＞x²
由f(0) ＞ 0 即排除选项B和D，
显然 f(x)=x²+a（a＞0）时 已知条件 2f(x)+xf′(x)＞x² 成立，
但f(x)＞x 未必成立，所以C也是错的，故选 A

追问

谢谢！